La física ha sido una ciencia considerada como un pilar dentro de la ingeniería. Esta ha permitido la resolución de distintas incógnitas dentro del universo. El principio de Torricelli ha sido uno de los postulados esenciales para resolver estas dudas, siendo de gran utilidad en el estudio del comportamiento de los fluidos. Y todo esto es posible cuando se trabaja de la mano con el principio de la mecánica de fluidos. De manera general, se establece que permite determina el comportamiento de un fluido mientras este se encuentra en movimiento dentro de un sistema cerrado.
Pero es a través del principio de Bernoulli, que se puede dar forma a este teorema. Y se tiene a partir de este que todo fluido a estudiar debe contar con dos características: no hay viscosidad y tampoco rozamiento. Cuando se conoce que se cumplen ambos, entonces se dice que el fluido es ideal. Pero también se determina que su energía siempre permanece constante, teniendo que esta es el resultado de la suma de: energía cinética, energía gravitacional y energía de presión.
Todos estos detalles, dan pie a la formulación del principio de Torricelli. Se define de esta manera que el teorema se centra en el estudio de un fluido contenido en un recipiente y este fluye a través de un orifico por efecto de una fuerza gravitacional. Finalmente, se considera como un método que permite calcular la velocidad de salida del líquido por el orifico. Cuando Torricelli presentó su postulado, no se mostró importancia alguna, por lo que terminó siendo olvidado. Fue Bernoulli quien se encargó de comprobar que era válido, haciendo sus propios aportes en torno a este. Así se concluyó que ambos principios trabajan conjuntamente.
¿Qué es el principio de Bernoulli?
Al considerarse que el principio de Torricelli y el de Bernoulli se encuentran relacionados, es necesario que ambos sean definidos para su entendimiento. Bernoulli basó su trabajo en definir el comportamiento de un fluido, que se mueve a través de una línea de corriente. Este puede ser líquido o gaseoso. Aseguró que en el momento en que la velocidad del fluido aumentaba, era porque la presión disminuía.
También se establecen dos características básicas que aseguran el cumplimiento del principio: el fluido no debe presentar viscosidad ni rozamiento. Además, la energía debe ser constante. Teniendo en cuenta este último punto, se definen tres tipos de energías: energía cinética, energía gravitacional y energía de presión. En el momento en que exista variación en alguna, las otras dos también deben variar para mantener la constancia.
A partir de este postulado, Leonhard Euler establece la siguiente ecuación:
Definiendo las variables:
- V = velocidad del fluido
- p = densidad del fluido
- P = presión del fluido en la línea de corriente
- g = aceleración gravitatoria
- z = altura en la dirección de la gravedad
¿Qué es el principio de Torricelli?
Una vez que se logran entender las bases del principio de Bernoulli, se procede a complementarlo con el principio de Torricelli. Aunque también va dirigido al estudio del comportamiento de los fluidos, se centra en determinar la velocidad con la que este fluye dentro de un recipiente que posee un agujero. Y esto es posible por la acción de una fuerza de gravedad.
Su postulado también se menciona que la velocidad con que fluye un líquido a través del agujero de un recipiente, es comparable con la velocidad a la que cae un cuerpo lanado al vacío cuando se encuentra a la misma altura del líquido hasta el centro de gravedad del orificio. Pero para lograr comprobar la velocidad de flujo del fluido, se formula la siguiente ecuación:
Se tiene entonces que:
- = velocidad teórica del líquido a la salida por el agujero en el recipiente
- = velocidad inicial
- h = distancia
- g = aceleración de la gravedad
Si estamos ante un caso donde se presentan velocidades más bajas, entonces la ecuación a aplicar es:
Y las variables se definen de la siguiente manera:
- = velocidad real media del líquido a la salida por el agujero
- = coeficiente de velocidad (este será igual a uno si la abertura se encuentra en una pared delgada)
Origen del principio de Torricelli
La formulación del principio de Torricelli, tuvo sus bases en los conocimientos de los mentores de este evangelista. El principio de su inspiración tuvo como musa a Galileo Galilei, tomando como referencia sus estudios acerca de la caída de graves, siendo complementado con las investigaciones en torno a los orificios de Benedetto Castelli. Esto le permitió dar respuesta a la primera interrogante, la cual se enfocaba en definir la forma que tomaba el líquido al salir por el agujero. Esto le permitió asegurar que se trataba de una hipérbola de cuarto orden.
También, tomando de referencia la teoría de la caída de cuerpos al vacío, hace una comparación entre la salida del fluido por un orifico con la caída de un cuerpo al vacío, destacando que este debe tener la misma altura inicial del líquido en el recipiente hasta el agujero. Deduce que la velocidad con que fluye el líquido a través del orificio será igual a la velocidad con que cae un cuerpo al vacío, tomando en cuenta que ambos se encontraban al mismo nivel al inicio del experimento.
Fue Isaac Newton quien intentó comprobar la validez de la teoría, pero no obtuvo resultados concluyente. Sin embargo no dejo de afirmar que consideraba que este principio era totalmente válido. Se apoyó en dos factores: la forma que adquiría el líquido al salir a través del orificio era una hipérbola de cuarto orden, y que un hielo en la superficie del líquido servía como fuerza de presión para favorecer el flujo a través del agujero.
Daniel Bernoulli tomo en cuenta todos estos enunciados, e hizo sus propios aportes tomando en cuenta el principio de conservación de energía. Sin embargo, no se consideró relevante hasta muchos años después.
Demostración del principio de Torricelli
Para asegurar que el principio de Torricelli es válido, es necesaria la aplicación de distintas ecuaciones. Pero se debe tomar en cuenta que es necesario ignorar todos aquellos factores que se consideran insignificantes ya que no influyen en los resultados. Se determina que son insignificantes las pérdidas relacionadas con la viscosidad en el principio de Torricelli, y la fricción producto de la acción del aire para la teoría de caída libre.
El primer paso consiste en aplicar la fórmula para calcular la velocidad. Se debe tomar en cuenta que el cuerpo cae desde el mismo nivel que la superficie libre de líquido, teniendo una rapidez inicial igual a cero. Se determina entonces que la energía cinética es nula. Se procede a calcular la energía potencial:
Teniendo que:
- m = masa del cuerpo
- g = energía gravitacional
- h = altura
En el momento en que se llega hasta el nivel del orificio, la energía potencial pasa a ser nula, y se procede a la aplicación de esta ecuación:
Como la energía se conserva, entonces Ep = Ec; esto permite igualar ambas fórmulas, obteniendo así la ecuación de Torricelli:
La siguiente es calcular la velocidad con la que fluye el fluido a través del agujero. Se procede a aplicar la ecuación de Bernoulli, la cual permite comparar el cuerpo que cae y fluido que sale por un orifico:
Esta hace referencia a la suma de todas las energías:
- El primer término identifica a la energía cinética.
- El segundo término identifica a la energía de presión.
- El tercer término identifica a la energía potencial gravitacional.